東大理系数学2005年第3問

東大-2005-r3-問題
難易度C、時間30分。(2)は知識が要求される問題で、現役生にはややつらい問題かもしれません。

しっかりと学習したい方は下のリンクの「東大過去問」の項目からテキストをダウンロードして、先に印刷してから動画を見てください。書き込むスペースを作ってあるので、動画中に出てくるまとめの部分や、自分が必要だと思ったことを書き込むと後で復習しやすいはずです。
PDFテキストダウンロードページ


(1)はf'(x)の増減を調べるだけです。ただしlim[n→∞]f'(x)を求めるにあたって、指数関数が1次関数より発散速度が速いことを使う必要があります。
東大-2005-r3-1

(2)は知識が必要です。解けない漸化式によって定義される数列の極限を求めるためには、収束値をαとして|x_(n+1)-α|<β|x_n-α|(0<β<1)のような不等式を示せばよいことを知っていなければなりません。この式は数列{x_n}と収束値αの誤差が項が進むごとに減少していくことを表しています。そしてこれを示すには平均値の定理を使用します。これも記憶しておくことが必要です。
東大-2005-r3-2
東大-2005-r3-3

(1)の極限を求める際に発散速度を利用するのが厳密でないと感じる人は、次のように解くことも可能です。
東大-2005-r3-4

この解法の類題を解いて練習したい人は次のリンクからどうぞ。
類題にチャレンジ

自分の解答の論証をチェックして欲しい、という方はぜひ当塾の添削会員に登録することをおすすめします。年会費わずか3150円で全科目の東大の過去問の採点を何度でもうけることができます。答案のやりとりはFAXまたはスキャナーで取り込んだものをメール添付して行います。興味がある方は下のリンク先の「お申し込み専用フォーム」から登録してみて下さい。
添削会員登録はこちら
さらに詳しい添削会員の制度の説明を知りたい方は下のリンクからどうぞ。
添削会員のシステムについて
スポンサーサイト

Comment

(2)の最初,abs(x[n+1]-1)<abs(x[n]-1) であればlim[n->∞]a[n]=1となると思うのですが、rは必要なのでしょうか?
  • 2012/08/02 09:31
  • fs
  • URL
Re: タイトルなし
必要です。
単調に減少しながら、かつ0に収束しない関数はいくらでもあるのです。
例えば1/2+1/3^nは単調に減少しますが0には収束しません。
もし|x_(n+1)-1|=(1/2+1/3^n)|x_n-1|が成り立っていたとしても、
|x_(n+1)-1|<|x_n-1|はみたしますが0に収束するとはいえません。
  • 2012/08/02 10:08
  • 佐治
  • URL
Comment Form
公開設定

Trackback


→ この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。