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6月東大テストゼミ第6問~コンソイド

コンソイド-問題
難易度D、時間40分。(1)だけでも歯ごたえがありますが、(2)の計算量がすさまじいです。(2)を扇形近似を使った場合はCの30分といったところ。

しっかりと学習したい方は下のリンクの「テストゼミ」の項目からテキストをダウンロードして、先に印刷してから動画を見てください。書き込むスペースを作ってあるので、動画中に出てくるまとめの部分や、自分が必要だと思ったことを書き込むと後で復習しやすいはずです。
PDFテキストダウンロードページ


(1)はまず点Qをパラメータ表示します。その際ベクトルを用いると簡単です。
コンソイド-1
コンソイド-2

(2)は計算が大変です。√を外すためにt=tanθと置換するとうまくいきます。
コンソイド-3
コンソイド-4

(1)の別解です。極座標を使うと比較的すっきり解けます。
コンソイド-5
コンソイド-6

(2)の扇形近似を使った別解です。この解法は極座標表示された曲線の囲む面積を求めるのに有効ですが、高校数学の範囲を超えており、記述で原点される可能性があります。時間がないときか、検算に使いましょう。
コンソイド-7
コンソイド-8

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Comment

音が聞こえません。。。
  • 2012/06/23 20:03
  • ポー
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  • Edit
音声ファイルが・・
  • 2012/06/23 21:11
  • ue
  • URL
Re: タイトルなし
修正しました。
ご指摘ありがとうございました。
  • 2012/06/24 10:55
  • 佐治
  • URL
修正ありがとうございます。

一次近似についてもう少し詳しく教えてほしいです
どうして「一次」なんですか?
  • 2012/06/24 14:19
  • ポー
  • URL
  • Edit
Re: タイトルなし
うーん、これは詳しくは大学で習いますが・・・
この考え方は積分を無限級数の和をとる操作と捉えなければ理解できません。
θが区間[-π/3,π/3]で動いたときの線分OPの掃く図形を、
n分割して分けた一つ一つの微少面積をΔSとしています。
すると求める面積は次のように表せます。
 S=lim[n→∞]ΣΔS
ここでいうn分割とはθの区間[-π/3,π/3]をn分割したものを指します。
ですから解答にある近似の式
 ΔS≒(1/2)*r^2*Δθ
に登場するΔθは2π/3nを表しています。
当然先の近似には誤差があるのですが、それはΔθ=2π/3nの2次の式なので、
例えば次の無限級数が0に収束することからも最終的な収束値には影響を与えないと分かります。
 lim[n→∞]Σ(2π/3n)^2=0(これは自分で示して下さい!)

ちなみになぜ誤差が2次の項になるか分かるかというと、
 lim[Δθ→∞]ΔS/Δθ=(1/2)*r^2
となるからです。これは高校生でもハサミウチの原理で示すことができます。
  • 2012/07/10 21:52
  • 佐治
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