典型題演習34~マクローリン展開

マクローリング展開-問題
難易度C、時間30分。少し発想力の必要な問題です。またこの問題は背景が大事ですから、考察の部分もしっかりと読むようにしましょう。

しっかりと学習したい方は下のリンクの「今日の一問」の項目からテキストをダウンロードして、先に印刷してから動画を見てください。書き込むスペースを作ってあるので、動画中に出てくるまとめの部分や、自分が必要だと思ったことを書き込むと後で復習しやすいはずです。
PDFテキストダウンロードページ


(1)はf_0(x)=e^x-1ということさえ分かればわけはありません。
マクローリン展開-1

(2)はf_n(x)を微分するとf_(n-1)(x)になることに気づけたかどうかです。これに気づけば帰納法を使うのは自然な発想でしょう。(1)がn=0のときの命題にあたることに注意しましょう。
マクローリン展開-2
マクローリン展開-3

この問題の背景にあるテイラーの定理についても知っておくとよいでしょう。
マクローリン展開-考察-1
マクローリン展開-考察-2

上の定理は高校生でも数学的帰納法で示すことができます。要するに平均値の定理を一般に拡張したものになります。
マクローリン展開-考察-3
マクローリン展開-考察-4

特にテイラーの定理でa=0とし、さらにラグランジェの剰余項がn→∞で0に収束するときの展開をマクローリン展開といいます。この形は大学入試にしばしば登場するのでなんとなく形を覚えておくとよいでしょう。
マクローリン展開-考察-5

最後にeが無理数であることの証明です。(2)を使うのですが、これは余力のある人だけ読めば大丈夫です。
マクローリン展開-考察-6


さらにちゃんと勉強したい方は、次の復習用問題を解いてみましょう。発展問題まで解けば、この問題のポイントがよく理解できるはずです。
マクローリン展開-復習問題

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