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典型題演習24~斜め楕円

斜め楕円-問題
難易度B、時間25分。典型的な問題ですが知識がないとどこから手をだしてよいかわかりません。数Ⅲに慣れていない人はよく復習しておいてください。

しっかりと学習したい方は下のリンクの「今日の一問」の項目からテキストをダウンロードして、先に印刷してから動画を見てください。書き込むスペースを作ってあるので、動画中に出てくるまとめの部分や、自分が必要だと思ったことを書き込むと後で復習しやすいはずです。
PDFテキストダウンロードページ


(1)は存在条件を使いましょう。二次不等式も二次式も同じように判別式を調べれば範囲が求まります。
斜め楕円-1

(2)はまず線分の長さを求め、(1)の範囲で積分するだけです。√の中に2次式が登場する場合、平方完成してsinθで置換する、というのは定石なのでしっかりと使えるようにしておいて下さい。
斜め楕円-2
斜め楕円-3
斜め楕円-4

(2)の別解です。二次曲線についての知識があればこの図形が楕円を回転させたものと分かります(下の考察を参考にしてください)。しかもy=xに対して線対称ですから、長軸、短軸が45°傾いたものであると分かります。したがって図形を回転行列を用いて45°回転させると簡単に面積が求まる形になります。
斜め楕円-別解-1
斜め楕円-別解-2

斜め楕円-考察-1

さらにちゃんと勉強したい方は、次の復習用問題を解いてみましょう。発展問題まで解けば、この問題のポイントがよく理解できるはずです。
斜め楕円-復習問題

容量的にこれらの解答はアップすることができないので、これらの問題の解答が欲しい、もしくは解いた解答を採点して欲しい方は、申し訳ありませんが下記から当塾の無料添削会員に登録してください。
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